Андреев А.А., Кузьмин Ю.Н.., Савин А.Н., Саушкин И.Н. "Функциональные уравнения"
Содержание
Задачи для самостоятельного изучения
Найдите композиции функций:
1.
j(x) =
x2+1
x-1
и
y(x) =
x+1
x-1
.
2. j(j(x)), если
j(x) =
________ Ц16-(x+5)2
-5.
3. j(j(x)), j(j(j(x))), j(j(j(j(x)))), если
j(x) =
x+1
1-x
.
Решите функциональные уравнения (4-33):
4. 3f(x)-f 2(1)-logax+5x-1 = 0.
5.
f
ж з
и
x
x+1
ц ч
ш
= x2.
6.
f
ж з
и
x
x+1
ц ч
ш
+2f(x+1) = x+1.
7. af(x-1)+bf(1-x) = cx, a,b,c- константы.
8. 3f(-x)+f(1/x)+f(x) = x.
9.
f
ж з
и
x-1
x+1
ц ч
ш
+f
ж з
и
-
1
x
ц ч
ш
+f(x) =
x3+2x2-2x-1
x(x+1)
.
10.
f(x)+
1
2
f
ж з
и
-
1
x
ц ч
ш
= x -
1
2x
.
11. f(x) = F(x)·f(j (x))+y (x), где F(x),j (x),y (x)- известные функции, непрерывные в области D О R.
12. f(x) = ax f ( x/5 ).
13.
f( 2x ) = (ex^2 cos x ) f (x) ,
lim
x®0
f(x) = 1.
14.
f ( x+y ) - f ( x-y )-4
_____ Цf(x-y)
+4
___ Цf(x)
(1-x)-4y = 0;
15. f( x+y )+2 f ( x-y ) = 3 f ( x ) - y;
16. 2 f ( x+y )+f ( x-y ) = f( x )(2ey + e-y);
17. f ( x+y )+2 f ( x-y ) + f ( x ) + 2 f ( y ) = 4x+y;
18.
f ( x+y ) + f ( x-y ) - f ( x ) - x3 - 6xy
_____ Ц f ( y )
3
= 0;
19. f ( x+y ) - 2 f ( x-y ) + f ( x ) - 2 f ( y ) = y - 2;
20. f ( x ) f ( x+y ) = [ f ( y ) ]2 [ f ( x-y ) ]2 ey+4, f ( t ) № 0;
21. f ( x+y ) + f ( x-y ) = [ f ( x ) ]2;
22. f ( x2 ) + f ( x ) = x;
23. f ( x ) = 2 [ f ( x/2 ) ]2 - 1;
24. f ( x ) + f ( 2/3 x ) = x;
25. 2 f ( 2x ) = f ( x ) + x;
26.
f
ж з
и
x+y
2
ц ч
ш
=
f ( x ) + f ( y )
2
;
27. f ( x+y ) = f ( x ) ey + f ( y ) ex ;
28. f [ f ( x ) ] = 1, (f № const);
29. f ( x/2 ) = f ( x ) ;
30. f ( 2x ) = 2 f ( x ) ;
31. f ( 1-x ) = f ( x );
32.
f ( Ц x ) = 1+x;
33.
f
ж з
и
x
1+x2
ц ч
ш
= f ( x ) ;
34. Показать, что функции f ( x ) = Cx, f ( x ) = ax, f ( x ) = loga x ,
f ( x ) = xm, где C, a, m -постоянные, являются соответственно
решениями следующих уравнений:
а) f( x+y ) = f ( x ) + f ( y ).
б) f ( x+y ) = f ( x ) · f ( y ).
в) f( x · y) = f ( x ) + f ( y ) .
г) f ( x · y ) = f ( x ) · f ( y ).
35. Показать, что функция
f(x) = Sgn x =
м п п н
п п о
1 при x > 0,
-1 при x < 0,
0 при x = 0,
удовлетворяет уравнению f ( x · y ) = f ( x ) · f ( y ) .
36. Показать, что функция
f(x) = j
ж з
и
x2+1
x-1
ц ч
ш
,
где j -произвольная функция, является решением уравнения
f
ж з
и
x+1
x-1
ц ч
ш
= f(x).
37. Найти решения следующих уравнений:
а) ( x-1 ) sin ( f ( x ) ) - 3x = 0.
б) loga f ( x ) + loga ( f ( x ) - Ц6 · a2x) = 4x, a > 0.
в) f ( x ) = f ( 0 ) · sin x - f ( [ (p)/ 2 ] ) cos x + x.
38. Найти все функции, удовлетворяющие тождеству
sin x+cos y = f(x)+f(y)+g(x)-g(y).
(Заочная олимпиада, мех.мат. МГУ, 1984 г.)
39. Функция f : R® R удовлетворяет тождеству
f ( x· y ) =
f ( x ) + f ( y )
x+y
, x , y О R, x+y № 0.
Существует ли такое значение x О R, для которого f ( x ) № 0.
(Нью -Йорк, 1978 г.)
40. Функции f , g : R® R не постоянны и удовлетворяют двум тождествам:
f ( x+y ) = f ( x ) · g ( y ) + g ( x ) · f ( y ),
g( x+y ) = g ( x ) · g ( y ) + f ( x ) · f ( y ), x , y О R.
Найти все возможные значения f ( 0 ) и g ( 0 ) .
(Нью -Йорк, 1976 г.)
41. Функция f : Z® R удовлетворяет условиям:
f ( n ) =
м н
о
n-10, если n > 100,
f ( f ( n+1 ) ) , если n Ј 100,
при n О Z. Доказать, что для любого значения n Ј 100 справедливо
равенство f ( n ) = 91.
(Югославия, 1983 г.)
42. Доказать, что любая функция f : R® R, удовлетворяющая одному
из тождеств
f( x+y ) = f ( x ) + f ( y ), x , y О R,
f ( x · y+x+y ) = f ( x · y ) + f ( x ) + f ( y ) , x , y О R,
удовлетворяет и другому.
(Югославия, 1979 г.)
В следующих задачах требуется найти решения указанных функциональных уравнений,
используя метод подстановки.
43. f ( 2x+1 ) = x2.
44.
f
ж з
и
a+x
c+x
ц ч
ш
= kx , x № -c; a , c , k -постоянные.
45. a f ( x ) + f ( 1/x ) = ax, x № 0, a № ±1, a -
постоянная.
46. ( x+1 ) f ( x ) + f ( 1/x ) = 1, где x № 0.
47.
f
ж з
и
x
x-1
ц ч
ш
- a f ( x ) = j( x ) , x № 1, a № ±1,
a -постоянная.
48.
f
ж и
________ Ц16-(x+5)2
- 5
ц ш
+ x f ( x ) = x.
49.
f ( x ) + f
ж з
и
a2
a-x
ц ч
ш
= x , a -постоянная.
50.
f
ж з
и
x+1
1-3x
ц ч
ш
+ f ( x ) = x.
51.
a f
ж з
и
x+1
1-x
ц ч
ш
+ b f ( x ) = F ( x ) , b № 0, a2 № b2,
x № -1, x № 1, x № 0, a b -постоянные.
52.
a f ( x+2 ) + b f
ж з
и
x+2
x+1
ц ч
ш
= x2, a и b -постоянные.
53. a f ( xn ) + f ( -xn ) = b xn, a № ±1, a и b -
постоянные.
54.
f
ж з
и
x
x+1
ц ч
ш
+ a f
ж з
и
x+1
x
ц ч
ш
= x+2 , x № -1, x № 0.
55.
m f
ж з
и
a+x
c+x
ц ч
ш
+ n f
ж з
и
a-x
c-x
ц ч
ш
= kx, x № ±c, m, n, a, c и k -постоянные.
В следующих задачах требуется найти решения указанных функциональных уравнений
в классе непрерывных функций.
56. f ( 2x-1 ) = f ( x ) .
57. f ( xn ) = a f ( x ) , x > 0, a О R.
58. f ( x ) = x ( x+1 ) + f ( x/2 ) .
59. 3 · f ( 2x+1 ) = f ( x ) + 5x.
60. Найти решение уравнения
f ( x ) = f ( x-1 ) + ax, если f(1) = 1,
a -постоянная, в классе функций натурального аргумента.
61. Найти функцию, удовлетворяющую уравнению
Ґ е
n = 0
f ( n ) = 2,
если последовательность f ( n ) является бесконечно убывающей геометрической
прогрессией со знаменателем q.
62. Доказать, что существует функция f : N® N, удовлетворяющая
тождеству
f ( f ( n ) ) = n2, n О N.
(Румыния, 1978 г.)
63. Функции f , g , h : N® N удовлетворяют следующим трём условиям:
а) Функция h ( n ) не принимает никакое значение более чем в одной точке
n О N.
б) Множество значений функции g ( n ) есть N.
в) f ( n ) = g ( n ) - h ( n ) + 1, n О N.
Доказать, что справедливо тождество
f ( n ) = 1, n О N.
(Румыния, 1979 г.)
64. Функция f, определённая при всех значениях аргументаи принимающая
действительные значения при всех x, удовлетворяет условию
где a -некоторое положительное число.
а) Доказать, что функция f периодическая (т.е. существует некоторое b > 0
такое, что f ( x+b ) = f ( x ) для всех x).
б) Приведите пример такой функции f, отличной от тождественной константы,
для a = 1.
(X международная математическая олимпиада, 1968 г., Москва-Ленинград.)
65. Пусть f ( n ) -функция, определённая на множестве натуральных чисел и
принимающая значения на том же множестве.
Доказать, что если для каждого n выполняется неравенство f ( n+1 ) > f ( f ( n ) ), то для каждого n имеет место равенство f ( n ) = n.
(XIX международная математическая олимпиада, 1977 г., Белград).
66. Найдите решение уравнения в классе дифференцируемых функций
f ( 5x+1 ) = 25 f ( x ).
67. Найдите решение уравнения в классе дифференцируемых функций
4 f ( x ) = f ( 4x ).
68. Найдите решение уравнения в классе дифференцируемых функций
f ( 3x+2 ) = 3 f ( x ).
69. а) Доказать, что если непрерывная функция f : R® R удовлетворяет
тождеству
f ( f ( f ( x ) ) ) = x, x О R,
то при любом значении x О R справедливо равенство f ( x ) = x.
б) Привести пример разрывной функции g : R® R, удовлетворяющей условиям
g ( x ) № x \textи g ( g ( g ( x ) ) ) = x, x О R.
(Румыния, 1982 г.)
Следующие задачи требуют применения методов решения функциональных уравнений,
содержащих свободные переменные.
70. f ( xy ) = y f ( x ), x > 0.
71. f ( x · y ) = [ f ( x ) ]y.
72. f ( x+y ) + f ( y-x ) - ( y+2 ) f ( x ) + y ( x2 -2y ) = 0.
73. f ( x+y ) + 2 f ( x-y ) = 3 f ( x ) - y .
74. - f ( x ) + y - 2 f ( x-y ) + f ( x ) - 2 f ( y ) = y-2 .
75. 2 f ( x+y ) - f ( x-y ) - ( 1-y ) f ( x ) = y ( 6x+x2+y ) .
76. f ( x+y ) - f ( x-y ) = 4xy .
77. 2 f ( x+2y ) + f ( x ) = f ( x+y )( 2ey + e-y ) .
78.
f
ж з
и
x+y
2
ц ч
ш
=
f ( x ) + f ( y )
2
.
79. f ( x+y ) = f ( x ) + f ( y ) + xy.
80. f ( x · y ) = f ( x ) + f ( y ) , x, y > 0.
81
(Уравнение Н. И. Лобачевского).
Указание. Использовать подстановку, рекомендованную для уравнения вида
f
ж з
и
x+y
2
ц ч
ш
= G [ f ( x ) , f ( y ) ] .
82. g ( x · y ) + 2g ( x/y ) = 3 · g( x ) - ln y, x > 0,
y > 0.
Указание. Ввести в рассмотрение функцию f ( x ) с помощью равенства
g ( x ) = f ( ln x ).
83. f ( x+y ) + f ( x-y ) + f ( x ) + f ( y ) = 3x2+3y2.
Указание. Использовать подстановку, рекомендованную для уравнения вида
H [ f ( x+y ) , f ( x-y ) , f ( x ) , f ( y ) , x , y ] = 0.
83. f ( x+y ) + f ( x-y ) - 2 f ( x )( 1+y ) = 2xy ( 3y-x2 ).
Указание. Использовать подстановку, рекомендованную для уравнения вида
H [ f ( x+y ) , f ( x-y ) , f ( x ) , x , y ] = 0.
84. f ( x+y ) - f ( x-y ) + f ( x ) = 4xy + x2.
Указание. Использовать подстановку, рекомендованную для уравнения вида
H [ f ( x+y ) , f ( x-y ) , f ( x ) , x , y ] = 0.
85. Найти все функции f : R® R, удовлетворяющие тождеству
x f ( y ) + y f ( x ) = ( x+y ) f ( x ) · f ( y ), x,y О R.
(Болгария, 1968 г.)
86. Найти функцию f : Q® Q, удовлетворяющую условиям: f ( 1 ) = 2,
f ( x · y ) = f ( x ) · f ( y ) - f ( x+y ) + 1 для всех x, y О Q.
(Международные математические соревнования школьников, 1980 г., Люксембург.)
87. f ( x ) -действительная функция действительного переменного x, не
равная тождественно нулю. Пусть f ( x-y ) = f ( x ) · f ( y ) для всех возможных
действительных x и y. Найдите f ( x ) .
(Из задач английских олимпиад.)
88. Пусть S- множество неотрицательных чисел. Найдите все функции f,
Определённые на S и принимающие свои значения в S такие, что
f ( m + f ( n ) ) = f ( f ( m ) ) + f ( n ) .
(XXXVII международная математическая олимпиада, Бомбей, 1996 г.)
89. Найдите все функции f ( x ) , определённые для каждого x и
удовлетворяющие уравнению
x f ( y ) + y f ( x ) = ( x+y ) f ( x ) f ( y ),
для произвольных x и y. Докажите, что две из них непрерывны.
(Из задач жюри олимпиад.)
90. Найдите все функции f : Z® R, удовлетворяющие тождеству
f ( n+m ) + f ( n-m ) = f ( 3n ), n,m О Z+,n і m.
(Австрия-Польша, 1979 г.)
91. Найдите все функции f : Q® Q, удовлетворяющие условию f ( 1 ) = 2
и тождеству
f ( x · y ) = f ( x ) · f ( y ) - f ( x+y ) + 1 x,y О Q.
(Люксембург, 1980 г.)
92. Пусть M - множество всех функций f : Z® R, удовлетворяющих
условию f ( 0 ) № 0 и тождеству
f ( n ) · f ( m ) = f ( n+m ) + f ( n-m ), n,m О Z.
Найти:
а) все функции f ( n ) О M, для которых f ( 1 ) = 5/2,
б) все функции f ( n ) О M, для которых
f ( 1 ) = Ц3.
(ГДР, 1982 г.).
93. Найдите все функции F ( x ), определённые на множестве неотрицательных
действительных чисел, принииающие значения в том же множестве и
удовлетворяющие следующим условиям:
1) f ( x· f ( y ) ) · f ( y ) = f ( x+y ) для всех неотрицательных
x и y,
2) f ( 2 ) = 0,
3) f ( x ) № 0 для всех 0 Ј x Ј 2.
(XXVII международная математическая олимпиада, 1986 г.)
94. Рассматриваются непостоянные функции f ( n,m ), определённые на
множестве всех пар целых чисел, принимающие целочисленные значения и
удовлетворяющие тождеству
f ( n , m ) =
1
4
( f ( n-1 , m ) + f ( n+1 , m ) + f ( n , m-1 ) + f ( n , m+1 ) ) , n,m О Z.
Доказать, что:
а) Такие функции существуют.
б) Для любого значения k О Z каждая такая функция принимает значения как
больше k, так и меньше k. (Румыния, 1978 г.)
95. Для данного подмножества S множества пар целых чисел назовём функцию
f : S® S универсальной, если она обратима и для любой пары n , m О S
удовлетворяет условию
f ( n , m ) О { ( n-1 ; m ) , ( n+1 ; m ) , ( n ; m-1 ) , ( n ; m+1 ) }.
Доказать, что если существует хотя бы одна универсальная функция, то
существует универсальная функция, удовлетворяющая тождеству
f ( f ( n , m ) ) = ( n ; m ) , ( n ; m ) О S.
(Австрия-Польша, 1978 г.)
96. Доказать, что если функция f ( x , y ), определенная на множестве
всех пар рациональных чисел и принимающая только положительные значения,
удовлетворяет трем тождествам
f ( x · y , z) = f ( x , z ) · f ( y , z ), (1)
f ( z , x · y ) = f ( z , x ) · f ( z , y ), (2)
f ( x , 1-x ) є 1, x,y,z О Q, (3)
то справедливы тождества
f ( x , x ) = 1, f ( x , - x ) = 1, f ( x , y ) = f ( y , x ) = 1, x , y О Q.
(Польша, 1977 г.).
97. Найти все непрерывные функции, удовлетворяющие тождеству
f ( x , y ) = x f ( y ) + f ( y ) + x · y · ( x+y. )
(Киевский университет.)
98. Найти все бесконечно дифференцируемые функции f : R® R,
удовлетворяющие тождеству
f ў
ж з
и
x+y
2
ц ч
ш
=
f ( y ) - f ( x )
y-x
, x , y О R, x № y.
(Нью-Йорк, 1977 г.)
99. Найти все такие функции f, определенные на множестве R+
положительных действительных чисел и принимающие значения в R+, для
которых выполнены следующие условия:
1) f ( x · f ( y ) ) = y · f ( x ) при любых x , y О R+,
2) f ( x )®0 при x®Ґ.
(XXIV международная математическая олимпиада, Франция, 1983 г.)
100. Доказать, что если не равная тождественно нулю функция
f : R® R удовлетворяет тождеству
f ( x ) · f ( y ) = f ( x+y ), x , y О R,
и дифференцируема в точке x = 0, то она бесконечно дифференцируема в
любой точке.
(Англия, 1969 г.)
101. Решить функциональное уравнение
f ( x · y ) = [ f ( x ) ]yb· [ f ( y ) ]xb,
где b- вещественная постоянная, а f ( x )- положительная непрерывная
однозначная функция положительного перменного x.
102. Решить уравнение в классе дифференцируемых функций:
f
ж и
x·y-
____ Ц1-x2
·
____ Ц1-y2
ц ш
= f ( x ) + f ( y ).
103. Решить уравнение в классе дифференцируемых функций:
f ( x+y ) =
f ( x ) + f ( y )
1 - f ( x ) · f ( y )
.
104. Пусть f и q- действительные функции, определенные на всей прямой,
и удовлетворяют уравнению
f ( x+y ) + f ( x-y ) = 2 f ( x ) q ( y )
для всех x и y. Докажите, что если f ( x ) не тождественный нуль и если
| f ( x ) |Ј 1 для всех y.
(XIV международная математическая олимпиада, 1972 г., Варшава).
105. Про функцию f, определенную на множестве всех пар неотрицательных
чисел ( x , y ) , известно следующее:
1° f ( 0 , y ) = y+1,
2° f(x+1,0) = f(x,1),
3° f(x+1,y+1) = f(x,f(x+1,y))
для каждой пары x і 0, y і 0. Найдите значение f(4,1981).
(XXII международная математическая олимпиада, 1981 г.)
106. Найти решение линейных однородных разностных уравнений:
107. Найти общие решения линейных однородных разностных уравнений:
а) f(x+2)-2f(x+1)+2f(x) = 0.
б) f(x+2)-5f(x+1)+6f(x) = 0.
в) f(x+3)-3f(x+2)+3f(x+1) = 0.
г) f(x+3)-4f(x+1)+f(x) = 0.
е) f(x+3)-8f(x) = 0.
108. Найти общие решения линейных неоднородных разностных уравнений:
а) f(x+2)-4f(x+1)+3f(x) = 2x(x+1).
б) f(x+3)-8f(x) = 2x.
в) f(x+2)+4f(x) = 2x(5 cos [(p)/ 2]-6sin [(p)/ 2]x).
109. Решить следующие функциональные уравнения путем их сведения к линейным
разностным уравнениям:
а) f(x)-f(x+1) = f(x)·f(x+1).
б) f2(x) = [(f(x-2))/( f(x-1))], f(x) > 0.
в) f(x) = k·f(g·x)+C, g > 0, g № 1, k > 0.
г) f(ax) = f(x).
110. Функция f определена на отрезке [0, 1] и
удовлетворяет условиям: f(0) = f(1). Доказать, что
если 0 Ј x1 № x2 Ј 1, то |f(x2)-f(x1)| < |x2-x1|;
если 0 Ј x1 № x2 Ј 1, то |f(x2)-f(x1)| < 1/2.
111. Решите функциональное уравнение f(x) = f(2x) в классе
непрерывных функций.
112. Найдите ограниченную в точке x = 0 функцию,
удовлетворяющую уравнению: f(x)-1/2f(x/2) = x2.
113. Решите на полуоси x > 0 функциональное урравнение
f(xn) = af(x), где a - фиксированное
действительное число, n - натуральное число.
114. Найдите все непрерывные на R функции f(x),
удовлетворяющие условию f( x ) = f ( sin x ) при всех x.
115. Многочлен P(x) удовлетворяет равенству: P(x)2-P2(y) = P(x+y)P(x-y) при всех x,y О R. Доказать, что P(x) = ax для
некоторого числа a.
116. Функция f интегрируема на [0,1] и удовлетворяет
уравнению
f(x) =
1
3
ж з
и
f
ж з
и
x
3
ц ч
ш
+f
ж з
и
x+1
3
ц ч
ш
+f
ж з
и
x+2
3
ц ч
ш
ц ч
ш
, x О R.
117. Пусть f([1/( p)]) = 1. Определить f. Существует ли
непрерывная функция f(x), определённая на всей вещественной
оси R, такая, что f(f(x)) = e-x для всех x О R?
118. Пусть p(x):[0,1]® R, p(0) = p(1) = 0,
p
ж з
и
x+y
2
ц ч
ш
Ј p(x)+p(y)
при всех x,y О [0,1]. Доказать, что p(x) і 0 для всех x,y О [0,1] и
функция имеет бесконечное число нулей на [0,1].
119. Найти все пары функций f и g дифференцируемые в
любой точке x, отличной от -1,0,1, что для всех x выполнены
равенства
xf(x)-
1
x
g
ж з
и
1
x
ц ч
ш
= 1,
1
x2
f
ж з
и
1
x
ц ч
ш
= x2g(x).
120. Найти f(x) такую, что f(x)f(y) = f(x-y) для любых x,y О R.
121. Пусть f:[0,1]® [0,1]. Известно, что 0,1 О f([0,1]),
для которого f(x) = x.
122. Доказать, что существует единственное x О [0,1], для
которого f(x) = x.
123. Найдите все функции f, дифференцируемые для всех
x № 0 и удовлетворяющие следующим условиям:
1) Для любого действительного числа выполнено равенство
f
ж з
и
1
x
ц ч
ш
= xf(x).
2) Для любых действительных чисел x и y таких, что x № 0,
y № 0 и x+y № 0, выполнено равенство
f
ж з
и
1
x
ц ч
ш
+f
ж з
и
1
y
ц ч
ш
= 1+f
ж з
и
1
x+y
ц ч
ш
.
3) f(1) = 2.
124. Функция f дифференцируема на множестве целых
неотрицательных чисел, причём f(0) = 0 и f(x2+y2) = f(x)f(y)
для x № y. Найдите f(x).
